Математический анализ №5. Что такого особенного в числе Эйлера "e"?

Число Эйлера (e) особенное благодаря своим свойствам и применению в различных областях математики и других наук. Это математическая константа, приблизительно равная 2,71828. Иногда её называют числом Эйлера в честь швейцарского математика Леонарда Эйлера. История открытия Впервые обнаружено в XVII веке швейцарским математиком Якобом Бернулли. Он изучал проблему сложных процентов и заметил, что если увеличивать частоту начисления процентов, то сумма стремится к определённому пределу — этому числу e. Позже Леонард Эйлер подробно исследовал свойства числа и ввёл обозначение e. В своей книге «Introductio in Analysin Infinitorum» (1748) Эйлер доказал, что e — иррациональное число, то есть его нельзя точно выразить в виде дроби. Свойства Иррациональность — e нельзя точно выразить в виде дроби. Трансцендентность — e не является корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами. Связь с экспоненциальной функцией — функция y, равная e в степени x, имеет уникальное свойство: её производная равна самой функции. Это делает её полезной в математическом моделировании процессов, которые растут или убывают экспоненциально, таких как сложные проценты в финансах или популяционная динамика в биологии. Основание натурального логарифма — логарифм числа Эйлера равен 1. Применение В математике — число e играет важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении, а также во многих других разделах математики. В других науках — например: В физике — число e используется для описания процессов радиоактивного распада, где количество вещества уменьшается экспоненциально со временем. В биологии — число e применяется для моделирования роста популяций, например, в модели логистического роста, которая описывает, как популяция растёт в условиях ограниченных ресурсов. В теории вероятностей и статистике — с числом e связано распределение Пуассона, описывающее случайные события, происходящие с некоторой средней частотой.